Zwischen #AfDErfolg und Medienberichten gibt es einen kausalen Effekt - und der lässt sich berechnen

BuzzFeed Deutschland hat Daten zusammengetragen, mit denen sich der Einfluss der Medien auf die Umfragewerte der AfD berechnen lässt. Wir zeigen, dass es einen statistischen Kausalzusammenhang zwischen der Häufigkeit der Berichte über die AfD und ihren Umfragewerten gibt. Hierfür verwenden wir Granger-Causality-Analyse. Das Ergebnis ist, dass vier bis fünf Wochen, nachdem vermehrt über die AfD berichtet wurde auch die Umfragewerte signifikant steigen.

Was ist in den Daten

Die Daten enthalten vor allem eine Zeitreihe mit wöchentlichen Aktivitäten zur Suche „AfD“ bei Google News (über Google Trends bezogen) und die Umfrageergebnisse der Afd in den Umfragen der Institute EMNID, Forschungsgruppe Wahlen, GMS, Infratest dimap, Forsa, INSA/YouGov und Allensbach.

Aus diesen Werten haben wir einen wöchentlichen Durchschnitt gebildet.

AfD-Umfragen/Google News, absolut

Die absoluten Werte geben erst einmal keinen Aufschluss über einen Zusammenhang.

Die Analyse

Zeitreihen haben häufig einen Trend. Würde man einfach zwei Zeitreihen vergleichen, die zufällig beide steigen oder fallen, würde der Eindruck eines Zusammenhangs entstehen. Daher wird der Trend aus den Daten entfernt. Dafür wird die Differenz von Woche zu Woche berechnet. Würde dies nicht reichen, dann würde die Differenz der Differenz genommen, usw. In unserem Fall lässt sich aber für beide Zeitreihen zeigen, dass die Differenz trendfrei ist.

AfD-Umfragen/Google News, Differenz

Die Differenz (also um wie viel die Berichterstattung oder die Umfragewerte pro Woche zu oder abgenommen haben) folgt sichtbar keinen Trend. Da die Ausschläge aber sehr unterschiedlich stark sind, kann man im Plot nicht viel erkennen. Für die folgenden Berechnungen ist das zwar egal, aber zur besseren Visualisierung haben wir die Daten auf eine einheitliche Skala gebracht.

AfD-Umfragen/Google News, Differenz, skalliert

Die Granger-Analyse fragt nun Folgendes: Lässt sich die eine Zeitreihe (Umfragen) besser durch ihre eigenen vorherigen Werte vorhersagen, oder durch ein Modell, das zusätzlich die vergangenen Werte einer zweiten Zeitreihe (Google News) enthält. Ist letzteres der Fall, dann ist die zweite Zeitreihe offenbar verantwortlich für einen Teil der Veränderungen der ersten. Der Kerngedanke dabei ist, dass die Ursache der Wirkung immer zeitlich vorausgeht. Findet man also einen Zusammenhang in Daten, der diese Chronologie aufweist, kann man daher von einem Kausalzusammenhang (Granger-Kausalität) ausgehen.

Mathematisch stellt sich das so dar:

Das erste Modell (Ω) ist eine multiple lineare Regression

Ω = y_t = β₀ + β₁y_t-1 +…+ β_ky_t-k + ewobei y_t die Werte der ersten Zeitreihe sind und y_t-k die vorrausgehender Werte bezeichnen. k gibt an, um wie viele Schritte man in die Vergangenheit geht. β bezeichnet die jeweiligen Regressionsparameter und e den verbleibenden Fehler des Modells.Das zweite Modell (π )ist sehr ähnlich: π = y_t = β₀ + β₁y_t-1 +…+ β_ky_t-k + α₁x_t-1 +…+ α_kx_t-k + e.Hier werden einfach zusätzlich die vergangenen Werte der zweiten Zeitreihe (Lags) integriert. Wären in der zweiten Formel alle α-Werte Null, dann wären die beiden Modelle identisch. Und genau das ist die Nullhypothese, die getestet wird:H₀:  α_i = 0 für alle i [1,k]H₁: α_i ≠ 0 für wenigstens ein i [1,k]

Statistisch wird dies mit dem „Wald-Test“ überprüft.

Um sicher zu gehen, dass nicht eine unbekannte dritte Variable beiden Zeitreihen beeinflusst, wiederholt man die Granger-Analyse zweimal und prüft einmal die Abhängigkeit der ersten von der zweiten Variable mit unterschiedlichen Lags und einmal umgekehrt die zweite gegen die erste Variable.

Für die AfD-Medien-Daten ist das Ergebnis eindeutig:

Die Umfragewerte haben keinen signifikanten Granger-Effekt (auf den 5%-Niveau) auf die Google-News-Daten mit Lags von 1-6.

Die Google-News-Daten beeinflussen aber die Umfragewerte signifikant mit den Lags 4, 5 und 6, wobei der Effekt bei Lag 5 am deutlichsten ist. Der p-Wert liegt hier bei unter 1%.

Was bedeutet dieses Ergebnis in normaler Sprache?

Die Analyse zeigt, dass die Zu- oder Abnahme in der Medienberichterstattung (Google-News) sich nach vier bis sechs Wochen auf die Umfrageergebnisse der AfD auswirken. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Effekt bloß zufällig auftritt, ist (wenn man den Grundannahmen des Modells folgt) kleiner als 1%. D. h., würde man die Analyse 100 Mal wiederholen, dann wäre zu erwarten, dass eine dieser Analysen einen solchen Effekt finden würde, obwohl es ihn gar nicht gibt.

Das Modell lässt sich veranschaulichen, wenn wir die Daten erneut plotten, diesmal aber so, dass die Google-News-Veränderungen von vor fünf Wochen über den aktuellen Umfragewerten liegen.

AfD-Umfragen/Google News, Differenz, skalliert, Lag 5

Man kann sehen, dass die Zeitreihen jetzt „besser“ zueinander passen und die Richtung der Veränderungen häufiger identisch ist.

Da es sich bei den Modelle im Prinzip um klassische Regressionsmodelle handelt, können wir mit der Analyse noch einen Schritt weitergehen. Der beigefügte R-Code zeigt, wie die Modelle nachgebaut wurden. Vergleicht man die Auswertungen, werden die Ergebnisse weiter untermauert. Dass Modell mit den Google-News ist insgesamt signifikant, die Effektrichtung ist positiv (wenn mehr über die AfD berichtet wird, steigen die Umfragewerte) und das Modell erklärt etwa 8% der Varianz (im Durchschnitt sind die Google-News also kausal für 8% der Veränderungen der Umfragen verantwortlich).

Da wir das Modell nun spezifiziert haben, können wir auch graphisch darstellen, welche Werte das Modell vorhergesagt hat und welche Unsicherheit im Modell ist. Die orange Linie zeigt die Prognose und die schwarzen Kurven geben die Werte an, die laut Modell mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit erwartet würden.

AfD-Umfragen/Modell

Klar, die blaue Linie mit den wirklichen Umfrageergebnissen bewegt sich (zu-) häufig außerhalb des Konfidenzintervalls, aber das Modell erklärt ja auch nur 8% des Zusammenhangs.

Zum Abschluss können wir jetzt noch die Differenz, die ja das Modell vorhersagt, in absolute Werte zurückrechnen und eine kleine Simulation durchführen.

Was wäre passiert, wenn die Medien in den letzten Wochen gar nicht über die AfD berichtet hätten?

AdF-Umfragen/Simulation, absolut

Hätten die Medien nicht mehr über die AfD berichtet, die Umfragewerte wären vermutlich auf 6% zurückgegangen anstatt auf 11% zu steigen. Die schwarze Linie zeigt, ab welchen Zeitpunkt die Google-News-Werte für die Simulation auf Null gesetzt wurden. Man sieht aber auch, dass die absoluten Werte insgesamt deutlicher vom Modell abweichen, weil sich die Unterschiede in den Differenzen hier aufaddieren.

Bewertung

Viel über die AfD berichten führt zu steigenden Umfragewerten. Ob zu viel über die AfD berichtet wurde, ist eine ganz andere Frage. Aufgabe der Medien ist es sicher nicht, die AfD künstlich klein zu halten. Hätten die Medien einfach nicht mehr über die AfD berichtet, wären sie ihrem Auftrag sicherlich nicht nachgekommen. Die Gefahr, die AfD mit der Berichterstattung groß zu machen, ist – laut unserer Analyse – aber tatsächlich gegeben. Insofern ist es wichtig, dass Journalistinnen und Journalisten sich ihrer Verantwortung bei der Berichterstattung bewusst sind.

Diskussion: Granger-Kausalität versus Kausalität

In der Statistik hat man es häufig mit Korrelationen zu tun. D. h. wir finden ungerichtete Zusammenhänge. Wir wissen, zwei Ereignisse treten mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit gemeinsam auf und schließen daher auf einen Zusammenhang. Wir wissen aber nicht, was was bedingt. Die Granger-Analyse geht hier einen wichtigen Schritt weiter: Sie zeigt einen gerichteten Zusammenhang auf: A beeinflusst B und nicht umgekehrt. Dennoch ist dieses statistische Verfahren nicht mit dem philosophischen Konzept der Kausalität zu verwechseln. Wenn wir normalerweise über Ursache und Wirkung sprechen, dann haben wir Gesetze gefunden, die diese Effekte erklären. Diesen Schritt liefert die Granger-Analyse nicht. Wir wissen nicht, warum die Umfragen fünf Wochen nach der Berichterstattung steigen. Solange die Wirklichen Zusammenhänge nicht klar sind, sondern „nur“ die zeitliche Abfolge von Ursache und Wirkung untersucht wurde, lässt sich das Verhältnis von Medienberichterstattung und AfD-Erfolg auch nicht abschließend bestimmen. Dass es aber einen Effekt gibt, haben wir ziemlich sicher nachgewiesen.

PS: Die Datenlage könnte besser sein

Die Daten von Google-Trends sind mit Vorsicht zu genießen und spiegeln nicht direkt die Häufigkeit der Medienberichterstattung wider. Wir haben allerdings auch die Erwähnung in der Zeit herangezogen und kommen zu ähnlichen Ergebnissen. Eine Wiederholung dieser Analyse mit Umfangreichen Mediendaten wäre aber angebracht.

Simon Hegelich und Orestis Papakyriakopoulos, September 2017

R-Code

library(forecast)
library(zoo)

##
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
##
## as.Date, as.Date.numeric

df <- read.csv("./Data/AfDMedien.csv", dec = ",")
colnames(df)

## [1] "KW" "Google.Suche"
## [3] "Google.News" "ZEIT"
## [5] "EMNID" "FG.Wahlen"
## [7] "GMS" "Infratest"
## [9] "Forsa" "INSA...YouGov"
## [11] "Allensbach" "X"
## [13] "Google..kombiniert." "ZEIT.1"
## [15] "Durchschnitt.Prognosen" "Durchschnitt.Prognosen.Faktor5"

df$Google.News

## [1] 24 20 22 23 21 17 22 14 13 13 13 14 15 13 12 17 16
## [18] 18 26 33 33 26 20 18 18 27 55 32 25 19 16 15 15 17
## [35] 20 22 21 25 28 36 36 56 39 41 42 47 40 44 41 40 31
## [52] 40 52 50 62 80 106 72 92 75 63 107 121 75 68 37 43 51
## [69] 62 75 59 52 63 78 89 57 46 36 60 53 50 57 42 42 55
## [86] 57 74 81 66 70 49 50 44 40 42 33 44 36 50 35 33 37
## [103] 65 42 44 43 64 66 53 42 49 39 42 43 38 41 50 39 44
## [120] 75 63 45 42 44 37 32 26 30 32 26 22 22 25 30 29 22
## [137] 34 37 40 83 82 NA NA

df$Durchschnitt.Prognosen

## [1] 5.00 6.38 6.50 6.25 6.20 5.75 6.63 6.00 6.50 6.88 6.30
## [12] 6.38 5.70 5.75 5.83 5.75 6.13 5.33 5.50 5.25 5.08 4.83
## [23] 5.00 4.50 4.70 4.38 4.50 3.67 3.90 3.60 3.25 3.33 3.50
## [34] 3.50 3.63 3.88 4.20 4.40 5.25 5.50 6.00 6.83 7.08 7.50
## [45] 8.00 8.25 8.42 8.50 8.63 8.60 8.80 8.83 8.00 8.70 10.10
## [56] 10.83 9.40 11.63 11.33 10.83 10.88 10.63 10.83 12.25 12.50 12.00
## [67] 12.20 11.17 12.00 12.17 12.88 12.75 13.30 13.67 13.00 11.67 12.50
## [78] 12.00 11.67 11.30 10.30 10.42 11.00 11.25 11.00 11.38 9.00 13.13
## [89] 13.33 13.75 13.92 13.83 13.50 13.20 13.00 12.50 12.20 12.13 12.00
## [100] 12.50 12.17 12.40 12.25 12.10 13.75 13.40 13.00 12.17 12.33 11.75
## [111] 10.75 10.00 9.50 10.00 9.40 9.83 9.90 8.25 8.75 9.50 9.25
## [122] 8.60 8.75 8.75 8.20 7.75 8.00 8.00 8.00 7.50 7.50 7.67
## [133] 8.50 8.00 8.50 8.50 8.20 8.00 8.83 9.20 9.21 8.80 10.00

# png("Absolut.png", type = "cairo", width = 16, height = 10, res = 600, units = "cm")
plot.ts(df$Google.News, col="orange", ylim=c(0,125), xlab = "Weeks", ylab = "")
points(df$Durchschnitt.Prognosen, type = "l", col="darkblue")
legend("topleft", c("Google News", "Mean Polls"), lty=c(1,1), col= c("orange", "darkblue"))

# dev.off()
Polls <- zoo(df$Durchschnitt.Prognosen)
GN <- zoo(df$Google.News)

ndiffs(Polls, alpha=0.05, test=c("kpss"))

## [1] 1

ndiffs(GN, alpha=0.05, test=c("kpss"))

## [1] 1

# differenced time series
GNDiff <- diff(GN)
PollsDiff <- diff(Polls)

# png("Differenz.png", type = "cairo", width = 16, height = 10, res = 600, units = "cm")
plot.ts(GNDiff, col="orange", xlab = "Weeks", ylab = "")
points(PollsDiff, type = "l", col="darkblue")
legend("topleft", c("Google News", "Mean Polls"), lty=c(1,1), col= c("orange", "darkblue"))

# dev.off()

# png("DifferenzScaled.png", type = "cairo", width = 16, height = 10, res = 600, units = "cm")
plot.ts(scale(GNDiff), col="orange", xlab = "Weeks", ylab = "", ylim = c(-4,6))
points(scale(PollsDiff), type = "l", col="darkblue")
legend("topleft", c("Google News", "Mean Polls"), lty=c(1,1), col= c("orange", "darkblue"))

# dev.off()

library(lmtest)
grangertest(GNDiff ~ PollsDiff, order=1)

## Granger causality test
##
## Model 1: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:1) + Lags(PollsDiff, 1:1)
## Model 2: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:1)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 135
## 2 136 -1 0.0268 0.8701

grangertest(GNDiff ~ PollsDiff, order=2)

## Granger causality test
##
## Model 1: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:2) + Lags(PollsDiff, 1:2)
## Model 2: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:2)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 132
## 2 134 -2 0.7111 0.493

grangertest(GNDiff ~ PollsDiff, order=3)

## Granger causality test
##
## Model 1: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:3) + Lags(PollsDiff, 1:3)
## Model 2: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:3)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 129
## 2 132 -3 0.9118 0.4373

grangertest(GNDiff ~ PollsDiff, order=4)

## Granger causality test
##
## Model 1: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:4) + Lags(PollsDiff, 1:4)
## Model 2: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:4)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 126
## 2 130 -4 1.7909 0.1347

grangertest(GNDiff ~ PollsDiff, order=5)

## Granger causality test
##
## Model 1: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:5) + Lags(PollsDiff, 1:5)
## Model 2: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:5)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 123
## 2 128 -5 1.9173 0.09615 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

grangertest(GNDiff ~ PollsDiff, order=6)

## Granger causality test
##
## Model 1: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:6) + Lags(PollsDiff, 1:6)
## Model 2: GNDiff ~ Lags(GNDiff, 1:6)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 120
## 2 126 -6 1.5983 0.1534

grangertest(PollsDiff ~ GNDiff, order=1)

## Granger causality test
##
## Model 1: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:1) + Lags(GNDiff, 1:1)
## Model 2: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:1)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 135
## 2 136 -1 0.0029 0.9574

grangertest(PollsDiff ~ GNDiff, order=2)

## Granger causality test
##
## Model 1: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:2) + Lags(GNDiff, 1:2)
## Model 2: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:2)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 132
## 2 134 -2 0.0205 0.9797

grangertest(PollsDiff ~ GNDiff, order=3)

## Granger causality test
##
## Model 1: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:3) + Lags(GNDiff, 1:3)
## Model 2: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:3)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 129
## 2 132 -3 1.5141 0.214

grangertest(PollsDiff ~ GNDiff, order=4)

## Granger causality test
##
## Model 1: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:4) + Lags(GNDiff, 1:4)
## Model 2: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:4)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 126
## 2 130 -4 2.8434 0.02685 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

grangertest(PollsDiff ~ GNDiff, order=5)

## Granger causality test
##
## Model 1: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:5) + Lags(GNDiff, 1:5)
## Model 2: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:5)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 123
## 2 128 -5 3.401 0.006512 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

grangertest(PollsDiff ~ GNDiff, order=6)

## Granger causality test
##
## Model 1: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:6) + Lags(GNDiff, 1:6)
## Model 2: PollsDiff ~ Lags(PollsDiff, 1:6)
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 120
## 2 126 -6 2.8628 0.01215 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# png("DifferenzScaledLag5.png", type = "cairo", width = 16, height = 10, res = 600, units = "cm")
plot.ts(scale(GNDiff), type="n", ylim=c(-4,6), xlab = "Weeks", ylab = "")
points(scale(lag(GNDiff,5)), type= "l", col ="orange")
points(scale(PollsDiff), type = "l", col ="darkblue")
legend("topleft", c("Google News", "Mean Polls"), lty=c(1,1), col= c("orange", "darkblue"))

# dev.off()

dfLaged <- cbind.data.frame(PollsDiff[6:142], PollsDiff[5:141], PollsDiff[4:140],
PollsDiff[3:139], PollsDiff[2:138], PollsDiff[1:137],
GNDiff[6:142], GNDiff[5:141], GNDiff[4:140],
GNDiff[3:139], GNDiff[2:138], GNDiff[1:137])
colnames(dfLaged) <- c("Polls", "P1","P2", "P3", "P4","P5", "N", "N1", "N2", "N3", "N4","N5")
dfLaged <- dfLaged[-137,]
fit <- lm(Polls ~ P1+P2+P3+P4+P5+N1+N2+N3+N4+N5, data = dfLaged)
fit2 <- lm(Polls ~P1+P2+P3+P4+P5, data = dfLaged)
summary(fit)

##
## Call:
## lm(formula = Polls ~ P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + N1 + N2 + N3 +
## N4 + N5, data = dfLaged)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.37554 -0.34122 -0.01428 0.37251 3.04921
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.017111 0.057831 0.296 0.76782
## P1 -0.305120 0.090293 -3.379 0.00097 ***
## P2 -0.056746 0.094282 -0.602 0.54834
## P3 0.052301 0.090344 0.579 0.56369
## P4 0.088117 0.088150 1.000 0.31942
## P5 0.056641 0.085772 0.660 0.51024
## N1 0.004969 0.004787 1.038 0.30123
## N2 0.011644 0.004793 2.429 0.01656 *
## N3 0.013095 0.005136 2.550 0.01199 *
## N4 0.008919 0.005255 1.697 0.09216 .
## N5 -0.002617 0.005195 -0.504 0.61530
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.6717 on 125 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1515, Adjusted R-squared: 0.0836
## F-statistic: 2.231 on 10 and 125 DF, p-value: 0.0199

summary(fit2)

##
## Call:
## lm(formula = Polls ~ P1 + P2 + P3 + P4 + P5, data = dfLaged)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.3828 -0.3601 0.0155 0.3702 3.5233
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.024634 0.059639 0.413 0.68026
## P1 -0.233168 0.087540 -2.664 0.00871 **
## P2 -0.005796 0.089650 -0.065 0.94855
## P3 0.064443 0.089634 0.719 0.47346
## P4 0.075378 0.090277 0.835 0.40527
## P5 0.045785 0.086785 0.528 0.59870
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.6937 on 130 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.05887, Adjusted R-squared: 0.02268
## F-statistic: 1.626 on 5 and 130 DF, p-value: 0.1574

waldtest(fit, fit2)

## Wald test
##
## Model 1: Polls ~ P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + N1 + N2 + N3 + N4 + N5
## Model 2: Polls ~ P1 + P2 + P3 + P4 + P5
## Res.Df Df F Pr(>F)
## 1 125
## 2 130 -5 2.7284 0.02245 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

GNnew <- GN
GNnew[134:143] <- 0
GNDiffN <- diff(GNnew)
dfLagedN <- cbind.data.frame(PollsDiff[6:142], PollsDiff[5:141], PollsDiff[4:140],
PollsDiff[3:139], PollsDiff[2:138], PollsDiff[1:137],
GNDiffN[6:142], GNDiffN[5:141], GNDiffN[4:140],
GNDiffN[3:139], GNDiffN[2:138], GNDiffN[1:137])
colnames(dfLagedN) <- c("Polls", "P1","P2", "P3", "P4","P5", "N", "N1", "N2", "N3", "N4","N5")

reDiff <- function(x,s){
a <- c(as.numeric(s[1]))
for (i in 2:length(x)){
a <- c(a, a[i-1]+as.numeric(x[i-1]))
}
return(a)
}
sim <- predict(fit, newdata = dfLagedN, interval = "confidence")
# png("DifferenzScaledConf.png", type = "cairo", width = 16, height = 10, res = 600, units = "cm")
plot(as.numeric(PollsDiff[-c(1:5)]), type="l", col = "darkblue", xlab = "Weeks", ylab = "")
points(sim[,1], type = "l", col="orange")
points(sim[,2], type = "l", col="black")
points(sim[,3], type = "l", col="black")

# dev.off()

simM <- reDiff(sim[,1], Polls[1])
# png("Sim.png", type = "cairo", width = 16, height = 10, res = 600, units = "cm")

plot(as.numeric(Polls[-c(1:5)]), type="l", col = "darkblue", xlab = "Weeks", ylab = "")
points(simM, type = "l", col="lightblue")
legend("topleft", c("Simulation", "Mean Polls"), lty=c(1,1), col= c("lightblue", "darkblue"))
abline(v=128)

# dev.off()

par(mfrow=c(2,2))
plot(fit)